蒙提霍尔问题（5扇门）优化版

📚 背景介绍

这是一个经典的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）的变体。原问题来自美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》，主持人蒙提·霍尔会向参赛者展示3扇门，其中1扇后面有奖品。我们这里将其扩展为5扇门的版本，让概率差异更加明显。

🎯 游戏规则

1. 有5扇门，其中只有1扇后面有奖品
2. 你随机选择1扇门
3. 主持人（知道奖品位置）会打开3扇没有奖品的空门（不会打开你选择的门）
4. 现在剩下2扇门：你最初选择的门 + 另一扇未打开的门
5. 主持人问：你是否要更换选择？

🔢 初始概率分析

在游戏开始时，你从5扇门中随机选择1扇：

• 选中奖品的概率：1/5 = 20%
• 选错的概率：4/5 = 80%

💡 关键理解：此时你选对的概率只有20%，选错的概率是80%。这个概率在主持人打开空门后不会改变！

🎭 主持人行动后的情况

主持人知道奖品位置，会打开3扇没有奖品的空门。此时：

• 你最初选择的门：仍有20%的概率有奖品（因为概率不会改变）
• 剩下的另一扇门：有80%的概率有奖品（因为奖品在4扇错误门中的概率是80%，主持人排除了其中3扇，所以剩下的1扇继承了这80%的概率）

🧮 数学计算过程

情况1：不更换选择

如果你不更换，继续选择最初的门：

这是因为你只有在最初就选对的情况下才能获胜，而最初选对的概率就是20%。

情况2：更换选择

如果你更换到另一扇门：

• 如果最初选错了（概率80%）：
  • 奖品在4扇错误门中的某一扇
  • 主持人打开了其中3扇空门
  • 剩下的那扇门必然有奖品！
  • 所以更换后必然获胜
• 如果最初选对了（概率20%）：
  • 奖品就在你最初选择的门里
  • 更换后必然失败

📊 结论对比

⚠️ 常见误解：很多人认为剩下2扇门，所以每扇门有50%的概率。这是错误的！因为主持人打开空门的行为提供了额外信息，改变了概率分布。正确的理解是：你最初选错的概率（80%）转移到了剩下的那扇门上。

🎓 核心原理总结